যোগ
এই ট্যাবে বীজগাণিতিক রাশির মৌলিক ধারণা — সংজ্ঞা, পদ, সহগ, ঘাত, যোগ-বিয়োগের নিয়ম — সংক্ষেপে ও চোখ–আরামদায়কভাবে সাজানো হয়েছে।
মূল সংজ্ঞা
🔸 বীজগাণিতিক রাশি: যে রাশিতে সংখ্যা ও অক্ষরের সমন্বয়ে গাণিতিক প্রক্রিয়া থাকে, তাকে বীজগাণিতিক রাশি বলে।
উদাহরণ: 3x+2y, 5a2−3b+7
🔸 পদ (Term): বীজগাণিতিক রাশির প্রতিটি অংশকে পদ বলে।
উদাহরণ: 3x+2y−5 রাশিতে পদ তিনটি: 3x, 2y, −5
🔸 সহগ (Coefficient): কোনো পদে চলকের সাথে যুক্ত সংখ্যাকে সহগ বলে।
উদাহরণ: 7x2 পদে x2 এর সহগ 7
🔸 ধ্রুবক পদ: যে পদে কোনো চলক নেই, তাকে ধ্রুবক পদ বলে।
উদাহরণ: 2x+5y−8 রাশিতে −8 ধ্রুবক পদ
পদের ধরণ
🔹 একপদী: একটি পদবিশিষ্ট রাশি। যেমন: 5x, −3y2
🔹 দ্বিপদী: দুইটি পদবিশিষ্ট রাশি। যেমন: 3x+2y
🔹 ত্রিপদী: তিনটি পদবিশিষ্ট রাশি। যেমন: x2+2x−1
সমজাতীয় পদ: যে পদগুলোর চলক ও ঘাত একই, তারা সমজাতীয় পদ।
উদাহরণ: 3x2 ও −5x2 সমজাতীয় পদ
অসমজাতীয় পদ: যে পদগুলোর চলক বা ঘাত ভিন্ন, তারা অসমজাতীয় পদ।
উদাহরণ: 2x ও 3y অসমজাতীয় পদ
ঘাত ও মাত্রা
🔸 ঘাত (Degree): কোনো পদে চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে ঘাত বলে।
- একঘাত রাশি: 2x+3y−5 (সর্বোচ্চ ঘাত 1)
- দ্বিঘাত রাশি: x2+3xy+y2 (সর্বোচ্চ ঘাত 2)
- ত্রিঘাত রাশি: 2x3+x2−4x+1 (সর্বোচ্চ ঘাত 3)
যোগ-বিয়োগের নিয়ম
-
সমজাতীয় পদের যোগ-বিয়োগ: শুধু সহগের যোগ-বিয়োগ হয়
3x2+5x2=8x2
7xy−2xy=5xy -
বন্ধনী খোলার নিয়ম:
- যোগ চিহ্নের আগে বন্ধনী: চিহ্ন অপরিবর্তিত
+(3x−2y)=3x−2y - বিয়োগ চিহ্নের আগে বন্ধনী: সব চিহ্ন উল্টে যায়
−(3x−2y)=−3x+2y
- যোগ চিহ্নের আগে বন্ধনী: চিহ্ন অপরিবর্তিত
-
যোগ-বিয়োগের চিহ্নের নিয়ম:
-
একই চিহ্ন: যোগ করে সেই চিহ্ন বসাও
(+3)+(+5)=+8
(−4)+(−2)=−6 -
ভিন্ন চিহ্ন: বিয়োগ করে বড় সংখ্যার চিহ্ন বসাও
(+7)+(−3)=+4 (7 > 3, তাই + চিহ্ন)
(+2)+(−5)=−3 (5 > 2, তাই - চিহ্ন)
-
-
গুণের চিহ্নের নিয়ম:
- (+)×(+)=(+)
- (+)×(−)=(−)
- (−)×(+)=(−)
- (−)×(−)=(+)
বাস্তব জীবনের উদাহরণ
🌟 দোকানের হিসাব: একটি কলমের দাম x টাকা, একটি খাতার দাম y টাকা হলে 3টি কলম ও 2টি খাতার দাম = 3x+2y টাকা
🌟 জমির পরিমাপ: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য l ও প্রস্থ w হলে পরিসীমা = 2(l+w)=2l+2w
🌟 বয়সের সমস্যা: রহিমের বয়স x বছর হলে 5 বছর পর তার বয়স = (x+5) বছর
🔍 অনুশীলনী (চেষ্টা করো)
- 5x2+3xy−2y2 রাশিতে কয়টি পদ আছে?
- 7ab পদে a এর সহগ কত?
- 3x2+2x−5 রাশির ঘাত কত?
- 4xy ও −2xy এর যোগফল কত?
- (2a+3b)−(a−2b) এর মান কত?
উত্তর: 1) 3টি, 2) 7b, 3) 2, 4) 2xy, 5) a + 5b
মনে রাখো: সমজাতীয় পদের মধ্যেই শুধু যোগ-বিয়োগ করা যায়। অসমজাতীয় পদ আলাদা রাখতে হয়।
যোগ-বিয়োগ
1. 3a+4b,a+3b
(3a+4b)+(a+3b)
=3a+4b+a+3b
=3a+a+4b+3b
=4a+7b
∴ যোগফল: 4a+7b
2. 2a+3b,3a+5b,5a+6b
(2a+3b)+(3a+5b)+(5a+6b)
=2a+3b+3a+5b+5a+6b
=2a+3a+5a+3b+5b+6b
=10a+14b
∴ যোগফল: 10a+14b
3. 4a−3b,−3a+b,2a+3b
(4a−3b)+(−3a+b)+(2a+3b)
=4a−3b−3a+b+2a+3b
=4a−3a+2a−3b+b+3b
=3a+b
∴ যোগফল: 3a+b
4. 7x+5y+2z,3x−6y+7z,−9x+4y+z
(7x+5y+2z)+(3x−6y+7z)+(−9x+4y+z)
=7x+5y+2z+3x−6y+7z−9x+4y+z
=7x+3x−9x+5y−6y+4y+2z+7z+z
=x+3y+10z
∴ যোগফল: x+3y+10z
5. x2+xy+z,3x2−2xy+3z,2x2+7xy−2z
(x2+xy+z)+(3x2−2xy+3z)+(2x2+7xy−2z)
=x2+xy+z+3x2−2xy+3z+2x2+7xy−2z
=x2+3x2+2x2+xy−2xy+7xy+z+3z−2z
=6x2+6xy+2z
∴ যোগফল: 6x2+6xy+2z
6. 4p2+7q2+4r2,p2+3r2,8q2−7p2−r2
(4p2+7q2+4r2)+(p2+3r2)+(8q2−7p2−r2)
=4p2+7q2+4r2+p2+3r2+8q2−7p2−r2
=4p2+p2−7p2+7q2+8q2+4r2+3r2−r2
=−2p2+15q2+6r2
∴ যোগফল: −2p2+15q2+6r2
7. 3a+2b−6c,−5b+4a+3c,8b−6a+4c
(3a+2b−6c)+(−5b+4a+3c)+(8b−6a+4c)
=3a+2b−6c−5b+4a+3c+8b−6a+4c
=3a+4a−6a+2b−5b+8b−6c+3c+4c
=a+5b+c
∴ যোগফল: a+5b+c
8. 2x3−9x2+11x+5,−x3+7x2−8x−3,−x3+2x2−4x+1
(2x3−9x2+11x+5)+(−x3+7x2−8x−3)+(−x3+2x2−4x+1)
=2x3−9x2+11x+5−x3+7x2−8x−3−x3+2x2−4x+1
=2x3−x3−x3−9x2+7x2+2x2+11x−8x−4x+5−3+1
=0x3+0x2−x+3
=−x+3
∴ যোগফল: −x+3
9. 5ax+3by−14cz,−11by−7ax−9cz,3ax+6by−8cz
(5ax+3by−14cz)+(−11by−7ax−9cz)+(3ax+6by−8cz)
=5ax+3by−14cz−11by−7ax−9cz+3ax+6by−8cz
=5ax−7ax+3ax+3by−11by+6by−14cz−9cz−8cz
=ax−2by−31cz
∴ যোগফল: ax−2by−31cz
10. −2x5+6x4+3x−2,−x2+x+1,−x2+6x−5
(−2x5+6x4+3x−2)+(−x2+x+1)+(−x2+6x−5)
=−2x5+6x4+3x−2−x2+x+1−x2+6x−5
=−2x5+6x4−x2−x2+3x+x+6x−2+1−5
=−2x5+6x4−2x2+10x−6
∴ যোগফল: −2x5+6x4−2x2+10x−6
MCQ
1. 5a+4b−2c থেকে 3a+2b+c
(5a+4b−2c)−(3a+2b+c)
=5a+4b−2c−3a−2b−c
=5a−3a+4b−2b−2c−c
=2a+2b−3c
∴ বিয়োগফল: 2a+2b−3c
2. 2ab−4bc+8ca থেকে 3ab+6bc−2ca
(2ab−4bc+8ca)−(3ab+6bc−2ca)
=2ab−4bc+8ca−3ab−6bc+2ca
=2ab−3ab−4bc−6bc+8ca+2ca
=−ab−10bc+10ca
∴ বিয়োগফল: −ab−10bc+10ca
3. −a2+b2−c2 থেকে a2+b2+c2
(−a2+b2−c2)−(a2+b2+c2)
=−a2+b2−c2−a2−b2−c2
=−a2−a2+b2−b2−c2−c2
=−2a2−2c2
∴ বিয়োগফল: −2a2−2c2
4. 6by+3ax+9cz থেকে 4ax+5by+6cz
(6by+3ax+9cz)−(4ax+5by+6cz)
=6by+3ax+9cz−4ax−5by−6cz
=3ax−4ax+6by−5by+9cz−6cz
=−ax+by+3cz
∴ বিয়োগফল: −ax+by+3cz
5. 5x+9+8x2 থেকে 7x2+9x+18
(5x+9+8x2)−(7x2+9x+18)
=8x2+5x+9−7x2−9x−18
=8x2−7x2+5x−9x+9−18
=x2−4x−9
∴ বিয়োগফল: x2−4x−9
6. −x3y2+x2y2+5xy+2 থেকে 3x3y2−5x2y2+7xy+2
(−x3y2+x2y2+5xy+2)−(3x3y2−5x2y2+7xy+2)
=−x3y2+x2y2+5xy+2−3x3y2+5x2y2−7xy−2
=−4x3y2+6x2y2−2xy
∴ বিয়োগফল: −4x3y2+6x2y2−2xy
7. −2y2+3x2−z থেকে 4x2+3y2+z
(−2y2+3x2−z)−(4x2+3y2+z)
=−2y2+3x2−z−4x2−3y2−z
=−x2−5y2−2z
∴ বিয়োগফল: −x2−5y2−2z
8. x3−2x2+2x+3 থেকে x4+2x3+x2−2
(x3−2x2+2x+3)−(x4+2x3+x2−2)
=x3−2x2+2x+3−x4−2x3−x2+2
=−x4−x3−3x2+2x+5
∴ বিয়োগফল: −x4−x3−3x2+2x+5
undefined
1. a2,b2,c2 তিনটি বীজগাণিতিক রাশি হলে, b2-এর সহগীয় সংখ্যা কত?
b2 রাশিতে b2-এর সহগ = 1
∴ b2-এর সহগীয় সংখ্যা: 1
2. 3x−2y+5z দ্বারা কী বোঝায়? y ও z-এর সহগীয় সংখ্যা কত?
3x−2y+5z দ্বারা বোঝায় তিনটি পদের যোগফল।
y-এর সহগ = −2
z-এর সহগ = 5
∴ y ও z-এর সহগীয় সংখ্যা যথাক্রমে −2 ও 5
3. একটি খাতার দাম x টাকা, একটি কলমের দাম y টাকা হলে, 3টি খাতা ও 2টি কলমের মোট দাম কত?
3টি খাতার দাম = 3x টাকা
2টি কলমের দাম = 2y টাকা
∴ মোট দাম = 3x+2y টাকা
4. 5x2+xy+3y2 রাশিটির পদগুলোর সংখ্যা কতটি এবং কী কী?
5x2+xy+3y2 রাশিতে পদের সংখ্যা = 3টি
পদগুলো হল: 5x2, xy, 3y2
∴ পদের সংখ্যা 3টি এবং পদগুলো 5x2,xy,3y2
5. 4a+3b−2c এবং 2a−b+5c যোগ করে, যোগফল থেকে a+2b−c বিয়োগ করো।
প্রথমে যোগ:
(4a+3b−2c)+(2a−b+5c)
=6a+2b+3c
এখন বিয়োগ:
(6a+2b+3c)−(a+2b−c)
=6a+2b+3c−a−2b+c
=5a+4c
∴ চূড়ান্ত ফলাফল: 5a+4c
6. x=2,y=−1 হলে 3x2−4xy+y2 এর মান নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে, x=2, y=−1
3x2−4xy+y2
=3(2)2−4(2)(−1)+(−1)2
=3×4−4×2×(−1)+1
=12+8+1
=21
∴ রাশিটির মান: 21
7. 2p2+3pq−q2 থেকে p2−2pq+3q2 বিয়োগ করে, বিয়োগফলের সাথে −p2+pq−2q2 যোগ করো।
প্রথমে বিয়োগ:
(2p2+3pq−q2)−(p2−2pq+3q2)
=2p2+3pq−q2−p2+2pq−3q2
=p2+5pq−4q2
এখন যোগ:
(p2+5pq−4q2)+(−p2+pq−2q2)
=p2+5pq−4q2−p2+pq−2q2
=6pq−6q2
=6q(p−q)
∴ চূড়ান্ত ফলাফল: 6pq−6q2
8. যদি m=a+2b,n=2a−b,k=3a+b হয়, তবে m+n−k এর মান a ও b এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।
দেওয়া আছে, m=a+2b, n=2a−b, k=3a+b
m+n−k
=(a+2b)+(2a−b)−(3a+b)
=a+2b+2a−b−3a−b
=a+2a−3a+2b−b−b
=0a+0b
=0
∴ m+n−k=0
9. 3x3−2x2+5x−1 থেকে x3+3x2−2x+4 বিয়োগ করো। x=1 হলে বিয়োগফলের মান কত?
বিয়োগ:
(3x3−2x2+5x−1)−(x3+3x2−2x+4)
=3x3−2x2+5x−1−x3−3x2+2x−4
=2x3−5x2+7x−5
x=1 হলে:
=2(1)3−5(1)2+7(1)−5
=2−5+7−5
=−1
∴ বিয়োগফল 2x3−5x2+7x−5 এবং x=1 হলে মান −1
10. 5xy+2x2−3y2 এবং −2xy+x2+y2 যোগ করো। x=2,y=1 হলে যোগফলের মান কত?
যোগ:
(5xy+2x2−3y2)+(−2xy+x2+y2)
=5xy+2x2−3y2−2xy+x2+y2
=3xy+3x2−2y2
x=2,y=1 হলে:
=3(2)(1)+3(2)2−2(1)2
=6+12−2
=16
∴ যোগফল 3xy+3x2−2y2 এবং x=2,y=1 হলে মান 16
undefined
1. যদি a2=x2+y2−z2,b2=y2+z2−x2,c2=x2+z2−y2 হয়, তবে দেখাও যে a2+b2+c2=x2+y2+z2
দেওয়া আছে,
a2=x2+y2−z2,
b2=y2+z2−x2,
c2=x2+z2−y2
এখন,
a2+b2+c2
=(x2+y2−z2)+(y2+z2−x2)+(x2+z2−y2)
=x2+y2−z2+y2+z2−x2+x2+z2−y2
=(x2−x2+x2)+(y2+y2−y2)+(−z2+z2+z2)
=x2+y2+z2 (দেখানো হল)
2. যদি x=5a+7b+9c,y=b−3a−4c,z=c−2b+a হয়, তবে দেখাও যে x+y+z=3(a+2b+2c)
দেওয়া আছে, x=5a+7b+9c, y=b−3a−4c, z=c−2b+a
এখন,
x+y+z
=(5a+7b+9c)+(b−3a−4c)+(c−2b+a)
=5a+7b+9c+b−3a−4c+c−2b+a
=5a−3a+a+7b+b−2b+9c−4c+c
=3a+6b+6c
=3(a+2b+2c) (দেখানো হল)
3. যদি x=a+b,y=b+c,z=c+a হয়, তবে দেখাও যে a+b+c=2x+y+z
দেওয়া আছে, x=a+b, y=b+c, z=c+a
এখন,
x+y+z
=(a+b)+(b+c)+(c+a)
=a+b+b+c+c+a
=2a+2b+2c
=2(a+b+c)
=2x+y+z (দেখানো হল)
4. যদি x=a+b,y=b+c,z=c+a হয়, তবে দেখাও যে x−y+z=2a
দেওয়া আছে, x=a+b, y=b+c, z=c+a
এখন,
x−y+z
=(a+b)−(b+c)+(c+a)
=a+b−b−c+c+a
=2a (দেখানো হল)
5. যদি x=a+b+c,y=a−b−c,z=b−c+a হয়, তবে দেখাও যে x−y+z=a+3b+c
দেওয়া আছে, x=a+b+c, y=a−b−c, z=b−c+a
এখন,
x−y+z
=(a+b+c)−(a−b−c)+(b−c+a)
=a+b+c−a+b+c+b−c+a
=a+3b+c (দেখানো হল)
6. যদি p=2x+3y,q=3x−2y,r=x+y হয়, তবে দেখাও যে p+q−4r=x−y
দেওয়া আছে, p=2x+3y, q=3x−2y, r=x+y
p+q−4r
=(2x+3y)+(3x−2y)−4(x+y)
=2x+3y+3x−2y−4x−4y
=2x+3x−4x+3y−2y−4y
=x−3y (দেখানো হল)
7. যদি m=a2+b2,n=2ab,k=a2−b2 হয়, তবে দেখাও যে m+n=(a+b)2
দেওয়া আছে, m=a2+b2, n=2ab, k=a2−b2
m+n
=(a2+b2)+2ab
=a2+2ab+b2
=(a+b)2 (দেখানো হল)
8. যদি u=3p+2q−r,v=p−q+3r,w=2p+q−2r হয়, তবে দেখাও যে u+v+w=6p+2q
দেওয়া আছে, u=3p+2q−r, v=p−q+3r, w=2p+q−2r
u+v+w
=(3p+2q−r)+(p−q+3r)+(2p+q−2r)
=3p+2q−r+p−q+3r+2p+q−2r
=3p+p+2p+2q−q+q−r+3r−2r
=6p+2q+0r
=6p+2q (দেখানো হল)
9. যদি s=x2+y2+z2,t=xy+yz+zx হয়, তবে দেখাও যে s+2t=(x+y+z)2
দেওয়া আছে, s=x2+y2+z2, t=xy+yz+zx
s+2t
=(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx)
=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx
=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz
=(x+y+z)2 (দেখানো হল)
10. যদি α=a+2b+c,β=2a−b+c,γ=a+b−2c হয়, তবে দেখাও যে α+β+γ=4a+2b
দেওয়া আছে, α=a+2b+c, β=2a−b+c, γ=a+b−2c
α+β+γ
=(a+2b+c)+(2a−b+c)+(a+b−2c)
=a+2b+c+2a−b+c+a+b−2c
=a+2a+a+2b−b+b+c+c−2c
=4a+2b+0c
=4a+2b (দেখানো হল)
undefined
1. 3x+2x এর মান কত?
a) 5x ✅
b) 6x
c) 5x2
d) 6x2
a) 5x ✅
b) 6x
c) 5x2
d) 6x2
2. 7y−3y এর মান কত?
a) 4y ✅
b) 10y
c) 4y2
d) 21y
a) 4y ✅
b) 10y
c) 4y2
d) 21y
3. 5a2+3a2 এর মান কত?
a) 8a
b) 8a2 ✅
c) 15a2
d) 8a4
a) 8a
b) 8a2 ✅
c) 15a2
d) 8a4
4. 2xy+5xy−3xy এর মান কত?
a) 4xy ✅
b) 10xy
c) 6xy
d) 0
a) 4xy ✅
b) 10xy
c) 6xy
d) 0
6. (3x+2y)+(x−y) এর মান কত?
a) 4x+y ✅
b) 4x+3y
c) 2x+y
d) 4x−y
a) 4x+y ✅
b) 4x+3y
c) 2x+y
d) 4x−y
7. (5a+3b)−(2a+b) এর মান কত?
a) 3a+2b ✅
b) 7a+4b
c) 3a+4b
d) 7a+2b
a) 3a+2b ✅
b) 7a+4b
c) 3a+4b
d) 7a+2b
8. 2x2+3x−1 রাশিতে কয়টি পদ আছে?
a) 2টি
b) 3টি ✅
c) 4টি
d) 5টি
a) 2টি
b) 3টি ✅
c) 4টি
d) 5টি
9. 7xy পদে x এর সহগ কত?
a) 7
b) 7y ✅
c) y
d) xy
a) 7
b) 7y ✅
c) y
d) xy
10. 3a2+2a−5 রাশির ঘাত কত?
a) 1
b) 2 ✅
c) 3
d) 5
a) 1
b) 2 ✅
c) 3
d) 5
11. (4m+3n)+(2m−5n)+(m+n) এর মান কত?
a) 7m−n ✅
b) 6m−2n
c) 7m+n
d) 5m−n
a) 7m−n ✅
b) 6m−2n
c) 7m+n
d) 5m−n
12. (6p+4q)−(3p−2q) এর মান কত?
a) 3p+2q
b) 3p+6q ✅
c) 9p+2q
d) 3p−6q
a) 3p+2q
b) 3p+6q ✅
c) 9p+2q
d) 3p−6q
13. 5x2−3x+2 রাশিতে ধ্রুবক পদ কোনটি?
a) 5x2
b) −3x
c) 2 ✅
d) 5
a) 5x2
b) −3x
c) 2 ✅
d) 5
14. 3ab এবং −5ab কোন ধরনের পদ?
a) সমজাতীয় পদ ✅
b) অসমজাতীয় পদ
c) ধ্রুবক পদ
d) মিশ্র পদ
a) সমজাতীয় পদ ✅
b) অসমজাতীয় পদ
c) ধ্রুবক পদ
d) মিশ্র পদ
15. (2x2+3x−1)+(x2−2x+4) এর মান কত?
a) 3x2+x+3 ✅
b) 3x2+5x+3
c) x2+x+3
d) 3x2−x+3
a) 3x2+x+3 ✅
b) 3x2+5x+3
c) x2+x+3
d) 3x2−x+3
16. (4y2−3y+2)−(2y2+y−1) এর মান কত?
a) 2y2−4y+3 ✅
b) 2y2−2y+1
c) 6y2−2y+1
d) 2y2+4y+3
a) 2y2−4y+3 ✅
b) 2y2−2y+1
c) 6y2−2y+1
d) 2y2+4y+3
17. x=2 হলে 3x2−2x+1 এর মান কত?
a) 9 ✅
b) 11
c) 13
d) 15
a) 9 ✅
b) 11
c) 13
d) 15
18. কোনটি বহুপদী রাশি নয়?
a) x2+3x−1
b) x1+2 ✅
c) 2y3−y+5
d) 3z2+z4
a) x2+3x−1
b) x1+2 ✅
c) 2y3−y+5
d) 3z2+z4
19. (3a+2b−c)+(a−3b+2c)−(2a+b−c) এর মান কত?
a) 2a−2b+2c ✅
b) 2a+2b−2c
c) 4a−2b+2c
d) 2a−2b−2c
a) 2a−2b+2c ✅
b) 2a+2b−2c
c) 4a−2b+2c
d) 2a−2b−2c
20. a=1,b=−2 হলে a2+2ab+b2 এর মান কত?
a) 1 ✅
b) 9
c) −3
d) 0
a) 1 ✅
b) 9
c) −3
d) 0
21. 2x3+5x2−3x+1 রাশিতে x2 এর সহগ কত?
a) 2
b) 5 ✅
c) −3
d) 1
a) 2
b) 5 ✅
c) −3
d) 1
22. (5p2+3pq−2q2)−(2p2−pq+q2) এর মান কত?
a) 3p2+4pq−3q2 ✅
b) 3p2+2pq−q2
c) 7p2+2pq−q2
d) 3p2+4pq−q2
a) 3p2+4pq−3q2 ✅
b) 3p2+2pq−q2
c) 7p2+2pq−q2
d) 3p2+4pq−q2
23. কোন রাশিটি ত্রিপদী?
a) 2x+3
b) x2+2x−1 ✅
c) 5y
d) a+b+c+d
a) 2x+3
b) x2+2x−1 ✅
c) 5y
d) a+b+c+d
24. x=−1,y=2 হলে 2x2−3xy+y2 এর মান কত?
a) 12 ✅
b) 10
c) 8
d) 14
a) 12 ✅
b) 10
c) 8
d) 14
undefined
1. রহিমের কাছে 3x+2y টাকা এবং করিমের কাছে x−y টাকা আছে। সালমানের কাছে 2x+3y টাকা আছে।
ক) রহিম ও করিমের মোট কত টাকা আছে?
খ) তিনজনের মোট কত টাকা আছে?
গ) x=50,y=20 হলে সালমানের কাছে কত টাকা আছে?
ক) রহিম ও করিমের মোট কত টাকা আছে?
খ) তিনজনের মোট কত টাকা আছে?
গ) x=50,y=20 হলে সালমানের কাছে কত টাকা আছে?
ক)
রহিমের টাকা = 3x+2y
করিমের টাকা = x−y
মোট টাকা = (3x+2y)+(x−y)=4x+y
∴ রহিম ও করিমের মোট 4x+y টাকা আছে
খ)
ক থেকে প্রাপ্ত, রহিম ও করিমের মোট = 4x+y
সালমানের টাকা = 2x+3y
তিনজনের মোট = (4x+y)+(2x+3y)=6x+4y
∴ তিনজনের মোট 6x+4y টাকা আছে
গ)
x=50,y=20 হলে
সালমানের টাকা = 2(50)+3(20)=100+60=160
∴ সালমানের কাছে 160 টাকা আছে
2. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (2a+3b) মিটার এবং প্রস্থ (a−b) মিটার। অন্য একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (3a+b) মিটার এবং প্রস্থ (2a−3b) মিটার।
ক) প্রথম আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
খ) দুটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার পার্থক্য কত?
গ) a=5,b=2 হলে দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ক) প্রথম আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
খ) দুটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার পার্থক্য কত?
গ) a=5,b=2 হলে দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ক)
প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2a+3b, প্রস্থ = a−b
পরিসীমা = 2[(2a+3b)+(a−b)]
=2[3a+2b]=6a+4b
∴ প্রথম আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 6a+4b মিটার
খ)
দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2[(3a+b)+(2a−3b)]
=2[5a−2b]=10a−4b
পার্থক্য = (10a−4b)−(6a+4b)=4a−8b
∴ পরিসীমার পার্থক্য 4a−8b মিটার
গ)
a=5,b=2 হলে
দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 10(5)−4(2)=50−8=42
∴ দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 42 মিটার
3. যদি p=x2+2xy+y2 এবং q=x2−y2 হয়।
ক) p−q নির্ণয় করো।
খ) p+q এর মান কত?
গ) x=3,y=2 হলে p এর মান নির্ণয় করো।
ক) p−q নির্ণয় করো।
খ) p+q এর মান কত?
গ) x=3,y=2 হলে p এর মান নির্ণয় করো।
ক)
p−q=(x2+2xy+y2)−(x2−y2)
=x2+2xy+y2−x2+y2
=2xy+2y2=2y(x+y)
∴ p−q=2xy+2y2
খ)
p+q=(x2+2xy+y2)+(x2−y2)
=x2+2xy+y2+x2−y2
=2x2+2xy
=2x(x+y)
∴ p+q=2x2+2xy
গ)
x=3,y=2 হলে
p=(3)2+2(3)(2)+(2)2=9+12+4=25
∴ p এর মান 25
4. তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা n−1,n,n+1। এদের বর্গের সমষ্টি S এবং তিনটি সংখ্যার সমষ্টি T।
ক) T এর মান n এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।
খ) S এর মান নির্ণয় করো।
গ) n=5 হলে S−3T এর মান কত?
ক) T এর মান n এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।
খ) S এর মান নির্ণয় করো।
গ) n=5 হলে S−3T এর মান কত?
ক)
T=(n−1)+n+(n+1)
=n−1+n+n+1
=3n
∴ T=3n
খ)
S=(n−1)2+n2+(n+1)2
=n2−2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2
∴ S=3n2+2
গ)
খ থেকে প্রাপ্ত, S=3n2+2, ক থেকে প্রাপ্ত, T=3n
n=5 হলে
S−3T=(3×25+2)−3(3×5)=77−45=32
∴ S−3T=32
5. একটি দোকানে কলমের দাম (3x+y) টাকা, খাতার দাম (2x−y) টাকা এবং পেন্সিলের দাম (x+2y) টাকা।
ক) একটি কলম ও একটি খাতার মোট দাম কত?
খ) তিনটি জিনিসের মোট দাম কত?
গ) x=10,y=5 হলে একটি পেন্সিলের দাম কত?
ক) একটি কলম ও একটি খাতার মোট দাম কত?
খ) তিনটি জিনিসের মোট দাম কত?
গ) x=10,y=5 হলে একটি পেন্সিলের দাম কত?
ক)
কলমের দাম = 3x+y
খাতার দাম = 2x−y
মোট দাম = (3x+y)+(2x−y)=5x
∴ একটি কলম ও একটি খাতার মোট দাম 5x টাকা
খ)
ক থেকে প্রাপ্ত, কলম ও খাতার দাম = 5x
পেন্সিলের দাম = x+2y
তিনটির মোট দাম = 5x+(x+2y)=6x+2y
∴ তিনটি জিনিসের মোট দাম 6x+2y টাকা
গ)
x=10,y=5 হলে
পেন্সিলের দাম = 10+2(5)=10+10=20
∴ একটি পেন্সিলের দাম 20 টাকা
6. যদি u=a2+b2,v=2ab,w=a2−b2 হয়।
ক) u+v এর মান কত?
খ) u−w নির্ণয় করো।
গ) দেখাও যে u+v=(a+b)2।
ক) u+v এর মান কত?
খ) u−w নির্ণয় করো।
গ) দেখাও যে u+v=(a+b)2।
ক)
u+v=(a2+b2)+2ab
=a2+2ab+b2
∴ u+v=a2+2ab+b2
খ)
u−w=(a2+b2)−(a2−b2)
=a2+b2−a2+b2
=2b2
∴ u−w=2b2
গ)
ক থেকে প্রাপ্ত, u+v=a2+2ab+b2
আমরা জানি, (a+b)2=a2+2ab+b2
অতএব, u+v=(a+b)2 (দেখানো হল)
7. একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য (2m+n), (m−2n) এবং (3m+n) একক।
ক) ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
খ) যদি পরিসীমা 24 একক হয় এবং n=2 হয়, তবে m এর মান কত?
গ) m=4,n=1 হলে সবচেয়ে বড় বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ক) ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
খ) যদি পরিসীমা 24 একক হয় এবং n=2 হয়, তবে m এর মান কত?
গ) m=4,n=1 হলে সবচেয়ে বড় বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ক)
পরিসীমা = (2m+n)+(m−2n)+(3m+n)
=2m+n+m−2n+3m+n
=6m+0n=6m
∴ ত্রিভুজের পরিসীমা 6m একক
খ)
ক থেকে প্রাপ্ত, পরিসীমা = 6m
দেওয়া আছে, পরিসীমা = 24 এবং n=2
6m=24
m=4
∴ m এর মান 4
গ)
m=4,n=1 হলে
প্রথম বাহু = 2(4)+1=9
দ্বিতীয় বাহু = 4−2(1)=2
তৃতীয় বাহু = 3(4)+1=13
∴ সবচেয়ে বড় বাহুর দৈর্ঘ্য 13 একক
8. যদি α=3p+2q−r এবং β=p−q+2r হয়।
ক) α+β নির্ণয় করো।
খ) α−β এর মান কত?
গ) p=2,q=1,r=3 হলে α ও β এর মানের পার্থক্য কত?
ক) α+β নির্ণয় করো।
খ) α−β এর মান কত?
গ) p=2,q=1,r=3 হলে α ও β এর মানের পার্থক্য কত?
ক)
α+β=(3p+2q−r)+(p−q+2r)
=3p+2q−r+p−q+2r
=4p+q+r
∴ α+β=4p+q+r
খ)
α−β=(3p+2q−r)−(p−q+2r)
=3p+2q−r−p+q−2r
=2p+3q−3r
∴ α−β=2p+3q−3r
গ)
p=2,q=1,r=3 হলে
α=3(2)+2(1)−3=6+2−3=5
β=2−1+2(3)=1+6=7
পার্থক্য = ∣7−5∣=2
∴ α ও β এর মানের পার্থক্য 2
9. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য (x+y) একক। অন্য একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য (x−y) একক।
ক) প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
খ) দুটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমষ্টি কত?
গ) x=7,y=3 হলে দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ক) প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
খ) দুটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমষ্টি কত?
গ) x=7,y=3 হলে দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ক)
প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহু = x+y
পরিসীমা = 4(x+y)=4x+4y
∴ প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4x+4y একক
খ)
ক থেকে প্রাপ্ত, প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4x+4y
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4(x−y)=4x−4y
সমষ্টি = (4x+4y)+(4x−4y)=8x
∴ দুটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমষ্টি 8x একক
গ)
x=7,y=3 হলে
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4(7−3)=4×4=16
∴ দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 16 একক
10. যদি A=2s2+3st+t2 এবং B=s2−st+2t2 হয়।
ক) A+B নির্ণয় করো।
খ) A−B এর মান কত?
গ) s=2,t=1 হলে A ও B এর মানের যোগফল কত?
ক) A+B নির্ণয় করো।
খ) A−B এর মান কত?
গ) s=2,t=1 হলে A ও B এর মানের যোগফল কত?
ক)
A+B=(2s2+3st+t2)+(s2−st+2t2)
=2s2+3st+t2+s2−st+2t2
=3s2+2st+3t2
∴ A+B=3s2+2st+3t2
খ)
A−B=(2s2+3st+t2)−(s2−st+2t2)
=2s2+3st+t2−s2+st−2t2
=s2+4st−t2
∴ A−B=s2+4st−t2
গ)
s=2,t=1 হলে
A=2(4)+3(2)(1)+1=8+6+1=15
B=4−2(1)+2(1)=4−2+2=4
যোগফল = 15+4=19
∴ A ও B এর মানের যোগফল 19
11. একটি ক্লাসে ছেলেদের সংখ্যা (3a+2b) জন এবং মেয়েদের সংখ্যা (2a−b) জন। অন্য একটি ক্লাসে ছেলেদের সংখ্যা (a+3b) জন এবং মেয়েদের সংখ্যা (4a−2b) জন।
ক) প্রথম ক্লাসে মোট কতজন শিক্ষার্থী আছে?
খ) দুই ক্লাসে মোট কতজন ছেলে আছে?
গ) a=5,b=2 হলে দ্বিতীয় ক্লাসে মোট কতজন শিক্ষার্থী আছে?
ক) প্রথম ক্লাসে মোট কতজন শিক্ষার্থী আছে?
খ) দুই ক্লাসে মোট কতজন ছেলে আছে?
গ) a=5,b=2 হলে দ্বিতীয় ক্লাসে মোট কতজন শিক্ষার্থী আছে?
ক)
প্রথম ক্লাসে ছেলে = 3a+2b
প্রথম ক্লাসে মেয়ে = 2a−b
মোট শিক্ষার্থী = (3a+2b)+(2a−b)=5a+b
∴ প্রথম ক্লাসে মোট 5a+b জন শিক্ষার্থী আছে
খ)
প্রথম ক্লাসে ছেলে = 3a+2b
দ্বিতীয় ক্লাসে ছেলে = a+3b
মোট ছেলে = (3a+2b)+(a+3b)=4a+5b
∴ দুই ক্লাসে মোট 4a+5b জন ছেলে আছে
গ)
a=5,b=2 হলে
দ্বিতীয় ক্লাসে ছেলে = 5+3(2)=11
দ্বিতীয় ক্লাসে মেয়ে = 4(5)−2(2)=16
মোট = 11+16=27
∴ দ্বিতীয় ক্লাসে মোট 27 জন শিক্ষার্থী আছে
12. যদি P=x3+2x2−x+1 এবং Q=2x3−x2+3x−2 হয়।
ক) P+Q নির্ণয় করো।
খ) P−Q এর মান কত?
গ) x=1 হলে P ও Q এর মানের পার্থক্য কত?
ক) P+Q নির্ণয় করো।
খ) P−Q এর মান কত?
গ) x=1 হলে P ও Q এর মানের পার্থক্য কত?
ক)
P+Q=(x3+2x2−x+1)+(2x3−x2+3x−2)
=x3+2x2−x+1+2x3−x2+3x−2
=3x3+x2+2x−1
∴ P+Q=3x3+x2+2x−1
খ)
P−Q=(x3+2x2−x+1)−(2x3−x2+3x−2)
=x3+2x2−x+1−2x3+x2−3x+2
=−x3+3x2−4x+3
∴ P−Q=−x3+3x2−4x+3
গ)
x=1 হলে
P=1+2−1+1=3
Q=2−1+3−2=2
পার্থক্য = ∣3−2∣=1
∴ P ও Q এর মানের পার্থক্য 1
13. একটি বাগানে গোলাপ ফুলের সংখ্যা (4m+3n) টি, জুঁই ফুলের সংখ্যা (2m−n) টি এবং বেলি ফুলের সংখ্যা (m+2n) টি।
ক) গোলাপ ও জুঁই ফুলের মোট সংখ্যা কত?
খ) তিন ধরনের ফুলের মোট সংখ্যা কত?
গ) m=6,n=4 হলে বেলি ফুলের সংখ্যা কত?
ক) গোলাপ ও জুঁই ফুলের মোট সংখ্যা কত?
খ) তিন ধরনের ফুলের মোট সংখ্যা কত?
গ) m=6,n=4 হলে বেলি ফুলের সংখ্যা কত?
ক)
গোলাপ ফুল = 4m+3n
জুঁই ফুল = 2m−n
মোট = (4m+3n)+(2m−n)=6m+2n
∴ গোলাপ ও জুঁই ফুলের মোট সংখ্যা 6m+2n টি
খ)
ক থেকে প্রাপ্ত, গোলাপ ও জুঁই = 6m+2n
বেলি ফুল = m+2n
তিন ধরনের মোট = (6m+2n)+(m+2n)=7m+4n
∴ তিন ধরনের ফুলের মোট সংখ্যা 7m+4n টি
গ)
m=6,n=4 হলে
বেলি ফুল = 6+2(4)=6+8=14
∴ বেলি ফুলের সংখ্যা 14 টি
14. যদি R=3u2+2uv−v2 এবং S=u2−3uv+2v2 হয়।
ক) R+S নির্ণয় করো।
খ) 2R−S এর মান কত?
গ) u=2,v=1 হলে R এর মান কত?
ক) R+S নির্ণয় করো।
খ) 2R−S এর মান কত?
গ) u=2,v=1 হলে R এর মান কত?
ক)
R+S=(3u2+2uv−v2)+(u2−3uv+2v2)
=3u2+2uv−v2+u2−3uv+2v2
=4u2−uv+v2
∴ R+S=4u2−uv+v2
খ)
2R−S=2(3u2+2uv−v2)−(u2−3uv+2v2)
=6u2+4uv−2v2−u2+3uv−2v2
=5u2+7uv−4v2
∴ 2R−S=5u2+7uv−4v2
গ)
u=2,v=1 হলে
R=3(4)+2(2)(1)−1=12+4−1=15
∴ R এর মান 15
15. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য (2k+3) একক। একটি নিয়মিত ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য (k−1) একক।
ক) সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
খ) নিয়মিত ষড়ভুজের পরিসীমা কত?
গ) k=4 হলে কোন চিত্রের পরিসীমা বেশি এবং কত বেশি?
ক) সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
খ) নিয়মিত ষড়ভুজের পরিসীমা কত?
গ) k=4 হলে কোন চিত্রের পরিসীমা বেশি এবং কত বেশি?
ক)
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = 2k+3
পরিসীমা = 3(2k+3)=6k+9
∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 6k+9 একক
খ)
নিয়মিত ষড়ভুজের বাহু = k−1
পরিসীমা = 6(k−1)=6k−6
∴ নিয়মিত ষড়ভুজের পরিসীমা 6k−6 একক
গ)
k=4 হলে
ত্রিভুজের পরিসীমা = 6(4)+9=33
ষড়ভুজের পরিসীমা = 6(4)−6=18
পার্থক্য = 33−18=15
∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা বেশি এবং 15 একক বেশি
16. যদি X=a3+3a2b+3ab2+b3 এবং Y=a3−b3 হয়।
ক) X−Y নির্ণয় করো।
খ) দেখাও যে X=(a+b)3।
গ) a=2,b=1 হলে Y এর মান কত?
ক) X−Y নির্ণয় করো।
খ) দেখাও যে X=(a+b)3।
গ) a=2,b=1 হলে Y এর মান কত?
ক)
X−Y=(a3+3a2b+3ab2+b3)−(a3−b3)
=a3+3a2b+3ab2+b3−a3+b3
=3a2b+3ab2+2b3
∴ X−Y=3a2b+3ab2+2b3
খ)
আমরা জানি, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
দেওয়া আছে, X=a3+3a2b+3ab2+b3
অতএব, X=(a+b)3 (দেখানো হল)
গ)
a=2,b=1 হলে
Y=(2)3−(1)3=8−1=7
∴ Y এর মান 7
17. একটি কারখানায় প্রথম দিন (5p+2q) টি পণ্য, দ্বিতীয় দিন (3p−q) টি পণ্য এবং তৃতীয় দিন (2p+4q) টি পণ্য উৎপাদন হয়।
ক) প্রথম দুই দিনে মোট কতটি পণ্য উৎপাদন হয়?
খ) তিন দিনে মোট কতটি পণ্য উৎপাদন হয়?
গ) p=8,q=3 হলে তৃতীয় দিনে কতটি পণ্য উৎপাদন হয়?
ক) প্রথম দুই দিনে মোট কতটি পণ্য উৎপাদন হয়?
খ) তিন দিনে মোট কতটি পণ্য উৎপাদন হয়?
গ) p=8,q=3 হলে তৃতীয় দিনে কতটি পণ্য উৎপাদন হয়?
ক)
প্রথম দিন = 5p+2q
দ্বিতীয় দিন = 3p−q
প্রথম দুই দিনে মোট = (5p+2q)+(3p−q)=8p+q
∴ প্রথম দুই দিনে মোট 8p+q টি পণ্য উৎপাদন হয়
খ)
ক থেকে প্রাপ্ত, প্রথম দুই দিনে = 8p+q
তৃতীয় দিন = 2p+4q
তিন দিনে মোট = (8p+q)+(2p+4q)=10p+5q
∴ তিন দিনে মোট 10p+5q টি পণ্য উৎপাদন হয়
গ)
p=8,q=3 হলে
তৃতীয় দিনে = 2(8)+4(3)=16+12=28
∴ তৃতীয় দিনে 28 টি পণ্য উৎপাদন হয়
18. যদি M=2x2+xy−y2 এবং N=x2−2xy+3y2 হয়।
ক) M+N নির্ণয় করো।
খ) M−N এর মান কত?
গ) x=3,y=2 হলে M+N এর মান কত?
ক) M+N নির্ণয় করো।
খ) M−N এর মান কত?
গ) x=3,y=2 হলে M+N এর মান কত?
ক)
M+N=(2x2+xy−y2)+(x2−2xy+3y2)
=2x2+xy−y2+x2−2xy+3y2
=3x2−xy+2y2
∴ M+N=3x2−xy+2y2
খ)
M−N=(2x2+xy−y2)−(x2−2xy+3y2)
=2x2+xy−y2−x2+2xy−3y2
=x2+3xy−4y2
∴ M−N=x2+3xy−4y2
গ)
ক থেকে প্রাপ্ত, M+N=3x2−xy+2y2
x=3,y=2 হলে
M+N=3(9)−(3)(2)+2(4)=27−6+8=29
∴ M+N এর মান 29
19. একটি পার্কে বেঞ্চের সংখ্যা (3r+s) টি এবং প্রতিটি বেঞ্চে (2r−s) জন করে বসতে পারে। অন্য একটি এলাকায় (r+2s) টি বেঞ্চ আছে।
ক) প্রথম পার্কে মোট কতজন বসতে পারে?
খ) দুই এলাকায় মোট কতটি বেঞ্চ আছে?
গ) r=4,s=2 হলে দ্বিতীয় এলাকায় কতটি বেঞ্চ আছে?
ক) প্রথম পার্কে মোট কতজন বসতে পারে?
খ) দুই এলাকায় মোট কতটি বেঞ্চ আছে?
গ) r=4,s=2 হলে দ্বিতীয় এলাকায় কতটি বেঞ্চ আছে?
ক)
বেঞ্চের সংখ্যা = 3r+s
প্রতি বেঞ্চে বসে = 2r−s
মোট বসতে পারে = (3r+s)(2r−s)
=6r2−3rs+2rs−s2=6r2−rs−s2
∴ প্রথম পার্কে মোট 6r2−rs−s2 জন বসতে পারে
খ)
প্রথম পার্কে বেঞ্চ = 3r+s
দ্বিতীয় এলাকায় বেঞ্চ = r+2s
মোট বেঞ্চ = (3r+s)+(r+2s)=4r+3s
∴ দুই এলাকায় মোট 4r+3s টি বেঞ্চ আছে
গ)
r=4,s=2 হলে
দ্বিতীয় এলাকায় বেঞ্চ = 4+2(2)=8
∴ দ্বিতীয় এলাকায় 8 টি বেঞ্চ আছে
20. যদি L=4t3−3t2+2t−1 এবং K=t3+2t2−t+3 হয়।
ক) L+K নির্ণয় করো।
খ) L−K এর মান কত?
গ) t=2 হলে L ও K এর মানের সমষ্টি কত?
ক) L+K নির্ণয় করো।
খ) L−K এর মান কত?
গ) t=2 হলে L ও K এর মানের সমষ্টি কত?
ক)
L+K=(4t3−3t2+2t−1)+(t3+2t2−t+3)
=4t3−3t2+2t−1+t3+2t2−t+3
=5t3−t2+t+2
∴ L+K=5t3−t2+t+2
খ)
L−K=(4t3−3t2+2t−1)−(t3+2t2−t+3)
=4t3−3t2+2t−1−t3−2t2+t−3
=3t3−5t2+3t−4
∴ L−K=3t3−5t2+3t−4
গ)
t=2 হলে
L=4(8)−3(4)+2(2)−1=32−12+4−1=23
K=8+2(4)−2+3=8+8−2+3=17
সমষ্টি = 23+17=40
∴ L ও K এর মানের সমষ্টি 40